2026학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 문제지 #14

[#14]

\( \overline{AB} = 2\sqrt{7} \)인 삼각형 \( ABC \)에서 선분 \( BC \)의 중점을 \( P \), 선분 \( BC \)를 5:1로 내분하는 점을 \( Q \)라 하자.

$$ \overline{AQ} = 3\sqrt{2}, \quad \sin(\angle QAP) : \sin(\angle APQ) = \sqrt{2} : 3 $$

일 때, 삼각형 \( ABC \)의 외접원의 넓이는? [4점]

① \( \frac{85}{9}\pi \)   ② \( \frac{88}{9}\pi \)   ③ \( \frac{91}{9}\pi \)   ④ \( \frac{94}{9}\pi \)   ⑤ \( \frac{97}{9}\pi \)

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[풀이 과정] (Polya의 4단계)

1단계: 문제 이해

주어진 조건을 통해 외접원 반지름 \( R \)을 구하는 것이 목표입니다.

• \( \overline{AB} = 2\sqrt{7}, \quad \overline{AQ} = 3\sqrt{2} \)
• \( P: BC \)의 중점, \( Q: BC \)를 5:1 내분점

2단계: 계획 수립

1. 사인법칙으로 \( \overline{PQ} \) 구하기
2. 비례 관계를 이용해 \( \overline{BC} \) 길이 및 세 변의 길이 구하기
3. 코사인법칙으로 \( \sin B \) 구하기
4. 사인법칙으로 외접원 반지름 \( R \) 구하기

3단계: 계획 실행

(1) \( \overline{PQ} \) 구하기:
\( \triangle APQ \)에서 사인법칙에 의해 \( \overline{PQ} = \overline{AQ} \times \frac{\sqrt{2}}{3} = 3\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{3} = \mathbf{2} \)

(2) \( \overline{BC} \) 길이 구하기:
\( \overline{BC} = 6k \)라 하면 \( \overline{BQ}=5k, \overline{BP}=3k \) 이므로 \( \overline{PQ}=2k=2 \), 즉 \( k=1 \).
따라서 \( \overline{BC}=6, \overline{BQ}=5 \)

(3) \( \cos B \)와 \( \sin B \) 구하기:
\( \triangle ABQ \)에서 코사인법칙: $$ \cos B = \frac{(2\sqrt{7})^2 + 5^2 - (3\sqrt{2})^2}{2 \cdot 2\sqrt{7} \cdot 5} = \mathbf{\frac{\sqrt{7}}{4}} $$ $$ \therefore \sin B = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{7}}{4})^2} = \mathbf{\frac{3}{4}} $$

(4) 외접원 넓이:
\( \triangle ABC \)에서 코사인법칙: \( \overline{AC}^2 = 28 + 36 - 2(2\sqrt{7})(6)(\frac{\sqrt{7}}{4}) = 22 \), \( \overline{AC} = \sqrt{22} \)
사인법칙 \( 2R = \frac{\sqrt{22}}{3/4} = \frac{4\sqrt{22}}{3} \implies R = \frac{2\sqrt{22}}{3} \)

최종 넓이: \( \pi R^2 = \pi (\frac{88}{9}) = \mathbf{\frac{88}{9}\pi} \)

4단계: 반성 및 검토

기하학적 설정과 코사인법칙을 통한 변의 길이 도출이 논리적으로 일치합니다. 정답은 ②번입니다.